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    Le nombre d'or ou "Divine proportion" a interpellé scientifiques, artistes et philosophes. Ses surprenantes propriétés mathématiques, géométriques et artistiques sont observables dans des domaines aussi vastes que l'astronomie, la nature, la biologie, et des productions humaines comme l'architecture, l'art et la musique. Voici donc une brève fiche de présentation suivie de 2 ou 3 liens pour aller plus loin.

     

    Comme les nombres π (3,14…) et e (2,718…), le nombre d'or Phi (noté Φ)  est un irrationnel aux décimales infinies :

    Φ = 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576...

    On écrit plus simplement la formule Φ = (1 + √5) / 2 ou à l'anglaise Φ = 0,5 + 50,5 x 0,5. Les irrationnels ainsi ramenés à une formule ne peuvent plus, dès lors, être dits transcendants (au sens mathématique du terme. Qualificatif que conservent π et e ).

    Pour rester dans les propriétés basiques de Phi (mais toujours surprenantes) on peut rappeler que son carré égale lui-même + 1 (Φ² = 2.61803...) et que son inverse égale lui-même – 1 (1/Φ = 0,61803...). Il est sans cesse approché dans une suite de Fibonacci (une suite simple où chaque terme vaut la somme des deux précédents) lorsqu'on divise n'importe quel terme par son précédent, plus le terme est avancé dans la suite plus Φ est approché avec précision. On retrouve Φ en algébre, en géométrie, en trigonométrie, etc.

    En géométrie, un b-a-ba du nombre d'or nous apprend que Φ est un rapport de distances lié à la recherche d'un point (que nous appellerons 'm') sur une droite [AB] tel que les distances [AB] / [Am] = [Am] / [mB] : 

     


    Si [AB] = 1 et [Am] = 0,618
    alors
    [AB] / [Am] = [Am] / [mB] = 1,618

    Nous allons voir que la Nature a utilisé
    ces rapports bien avant l'homme...

     

    Un rectangle d'or (1 x 1,618) conserve indéfiniment ses proportions si on lui retire un carré de côtés 1 : 

     

    Dans un rectangle d'or s'inscrit une spirale logarithmique que l'on retrouve souvent dans les coquillages, les coeurs de tournesols, la disposition des feuilles sur les végétaux, etc. :

    spiraleLogarithmique.jpg

     

    C'est aussi le nombre qui caractérise l'emplacement du nombril, par rapport à la hauteur de l'être humain. Il ne s'agit pas de mesures précises bien sûr, l'ensemble des êtres humains étant de proportions différentes, mais en moyenne on "entoure" ce nombre, et on estime qu'au plus vous l'approchez, au plus vos proportions sont harmonieuses.

    Ainsi, il serait harmonieux d'avoir distances [pieds-tête] / [pieds-nombril] ≈ Φ ; si c'est le cas, alors vous aurez aussi distances [pieds-nombril] / [nombril-tête] ≈ Φ

     

    vitruve

     

    Au même titre chez l'homme, Φ est le rapport de proportion (approché) de ses phalanges : c'est le rapport de la première phalange sur la seconde, et de la seconde sur la troisième.

    Dans la nature c'est, entre autres, le rapport d'écartement entre les feuilles des arbres, afin d'éviter que, mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre. C'est aussi le rapport de proportion entre la population des ouvrières d’une ruche et celle des faux-bourdons, ...

     

    C'est probablement à cause de ces propriétés (entre nombreuses autres qui n'ont pas été abordées ici) que Φ a été appelé divine proportion et utilisé dans des productions humaines mémorables comme la pyramide de Khéops, le temple de Salomon, le Parthénon, la plupart des églises romanes, de nombreux tableaux de la Renaissance, etc.

     

    Vidéo La nature par les nombres, suite de Fibonacci, rectangle d'or, etc. :

     

    Pour aller plus loin :

    • Bienvenue en mathématiques magiques › Le nombre d'or
    • Nombres, curiosités et usages › Le nombre d'or
    • Le nombre d'or de Marius Clayet-Michaud, Editions Que sais-je.
      (nombreuses applications géométriques, connaissances de base requises en géométrie)
       

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